Calculatrice de déterminant




Le déterminant d'une matrice carrée A = ( a i j ) de dimension n est un nombre réel qui dépend de façon linéaire de chaque vecteur colonne de la matrice. On note det ( A ) ou | A | le déterminant de la matrice A carrée.

det ( m 1 ; n m m i ; n m n ; 1 m n ; n ) = | m 1 ; 1 m 1 ; n m n ; n m n ; n |

La formule la plus simple pour le calcul du déterminant est la formule de Leibeiniz:

d e t ( A ) = σ S n ε ( σ ) i = 1 n a σ ( i ) i i

Propriétés des déterminants

  • Le déterminant est égale à 0 si,
    • Deux lignes dans la matrices sont égales.
    • La matrice a au moins une ligne ou colonne égale à zéro.
    • La matrice est singulière.
  • Soustraire n fois la ligne i de la ligne j ne change pas la valeur du déterminant.
  • Si deux lignes ou colonnes sont permutés, le signe du déterminant change du positive au négatif ou de négatif au positif.
  • Le déterminant de la matrice identité est égale à 1, det ( I n ) = 1
  • Les déterminants de A et sa transposée sont égales, det ( A T ) = det ( A )
  • det ( A - 1 ) = 1 det ( A ) = [ det ( A ) ] - 1
  • Si A et B de matrices de la même dimension, det ( A B ) = det ( A ) × det ( B )
  • det ( c A ) = c n x det ( A )
  • det ( A ) = a n a 22 a n n = i = 1 n a i i , si la matrice A est triangulaire a i j = 0 et i j , le déterminant est égale au produit de la diagonale de la matrice.

Méthode de calcul de déterminant

Formule de Leibniz pour les déterminants

Si A est une matrice n x n, la formule est: leibniz formula

Exemple
matrix determinant example

Élimination de Gauss

Cette méthode transforme la matrice en une forme d'échelon de ligne réduite en échangeant des lignes ou des colonnes, en ajoutant à une ligne et en multipliant une autre ligne afin d'afficher un maximum de zéros.

Pour chaque pivot, nous multiplions par -1.